在△ABC中,A、B为定点,C为动点,记∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,已知c=2,abcos^2(C/2)=1．（1）证明:动点C一定在某个椭圆上,并求出该椭圆的标准方程（2）设点O为坐标原点,过点B作直线l与（1

Question

在△ABC中,A、B为定点,C为动点,记∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,已知c=2,abcos^2(C/2)=1．
（1）证明:动点C一定在某个椭圆上,并求出该椭圆的标准方程
（2）设点O为坐标原点,过点B作直线l与（1）中的曲线交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程

Answer 1

(1)abcos²(C/2)=1
∴ab(1+cosC)/2=1→abcosC=2-ab
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC
∴4=a²+b²-2(2-ab)→(a+b)²=8→a+b=2√2
即动点C到定点A,B距离之和为一定值2√2,根据椭圆定义知道C的轨迹是椭圆,A和B分别是椭圆的焦点.以AB所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立坐标系.
椭圆焦距为：AB/2=1；长半轴为√2
则短半轴为：√(2-1)=1
所以椭圆标准方程为：x²/2+y²=1
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)
向量OM=(x1,y1),向量ON(x2,y2)
OM⊥ON→x1x2+y1y2=0
①假设直线l斜率不存在
l方程：x=1
与椭圆方程联立得：y²-1/2=0
∴y1y2=-1/2
∴x1x2+y1y2=1/2≠0,不合题意.
②直线l存在斜率
设直线l方程为：y=k(x-1)
x1x2+y1y2=(k²+1)x1x2-k²(x1+x2)+k²=0
直线l与椭圆相交：x²/2+k²(x-1)²=1→(2k²+1)x²-4k²x+2k²-2=0
由韦达定理：x1+x2=4k²/(2k²+1),x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)
∴(k²+1)(2k²-2)/(2k²+1)-k²·4k²/(2k²+1)+k²=0
解得k=±√2
∴直线l方程为：y=√2x-√2或y=-√2x+√2