函数的题目,f（k）是k的数字和的平方,求f1991(2^1990)的值.(1991是上标,迭代1991次的意思)

Question

函数的题目,f（k）是k的数字和的平方,求f1991(2^1990)的值.(1991是上标,迭代1991次的意思)

Answer 1

得256,过程我再推导一下
原式迭代次数比幂次多1
没有思路,穷举找规律,同样对2的n次幂,取n+1次函数迭代,得到：
f(2^1)=2^2=4 f2=16
f(2^2)=4^2=16 f3=169
f(2^3)=8^2=64 f4=1
f(2^4)=(1+6)^2=49 f5=256
f(2^5)=（3+2）^2=25 f6=256
f(2^6)=（6+4）^2=100 f7=1
f(2^7)=（1+2+8）^2=121 f8=169
f(2^8)=（2+5+6）^2=169 f9=169
f(2^9)=（5+1+2）^2=64 f10=1
f(2^10)=（1+0+2+4）^2=49 f11=256
f(2^11)=（2+0+4+8）^2=196 f12=256
f(2^12)=（4+0+9+6）^2=361 f13=1
f(2^13)=（8+1+9+2）^2=400 f14=169
f(2^14)=（1+6+3+8+4）^2=484 f15=169
f(2^15)=（3+2+7+6+8）^2=676 f16=1
f(2^16)=（6+5+5+3+6）^2=625 f17=256
f(2^17)=（1+3+1+0+7+2）^2=196 f18=256
f(2^18)=（2+6+2+1+4+4）^2=361 f19=1
所以可发现规律
当2的幂次为3n时,结果得1
当2的幂次为3(2n)+1或+2,即3的偶数倍加1或2次幂时,结果得169
当2的幂次为3(2n+1)+1或+2,即3的奇数倍加1或2次幂时,结果得256
因为1990不能被3整除,但1990=1989+1,1989/3=663是3的奇数倍
所以根据发现的规律判断结果为256
推导不出数学式,哪位高手试试?