求证：根号下xx+yy+根号下xx+(1-y)^2+根号下(1-x)^2+y^2+根号下(1-x)^2+(1-y)^2大于等于2根号下2

Question

求证：根号下xx+yy + 根号下xx+(1-y)^2 + 根号下(1-x)^2+y^2 +根号下(1-x)^2+(1-y)^2 大于等于 2根号下2

Answer 1

只需要证明一个引理
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)>=√[(a+c)^2+(b+d)^2]
两边平方即证a^2+b^2+2√[(a^2+b^2)(c^2+d^2)]+c^2+d^2>=(a+c)^2+(b+d)^2
整理即证√[(a^2+b^2)(c^2+d^2)]>=ac+bd
平方即证(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac)^2+2abcd+(cd)^2
整理即证(ad)^2-2abcd+(bc)^2>=0
即证(ad-bc)^2>=0显然成立,取等ad=bc
引理证明完后于是根据引理有：
√(x^2+y^2)+√[x^2+(1-y)^2]+√[(1-x)^2+y^2]+√[(1-x)^2+(1-y)^2]
>=√[(x+x)^2+(y+1-y)^2]+√[(1-x+1-x)^2+(y+1-y)^2]
>=√[(2x+2-2x)^2+(1+1)^2]=√8=2√2
取等x(1-y)=xy且(1-x)(1-y)=y(1-x)且2x=2-2x即x=y=1/2取等
PS：其实引理就是闵可夫斯基不等式的一个特殊情况,你如果闵可夫斯基不等式,可以直接用.