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设ABCD是半径为2的球面上的四个不同点,且满足向量AB⊥向量AC,向量AB⊥向量AD,向量AC⊥向量AD三角形ABC、三角形ABD、三角形ACD的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S2+S3最大值为?我看到有位老师的解答是

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设ABCD是半径为2的球面上的四个不同点,且满足向量AB⊥向量AC,向量AB⊥向量AD,向量AC⊥向量AD
三角形ABC、三角形ABD、三角形ACD的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S2+S3最大值为?
我看到有位老师的解答是:以A为原点,作直角坐标系A-BCD.设球心P(x,y,z),则:x²+y²+z²=4.
且:B(2x,0,0),C(0,2y,0),D(0,0,2z).(这是为了PB=4.等等)
则:S1+S2+S3=S=2xy+2yz+2xz.
看:8-S=(x-y)²+(y-z)²+(x-z)².(8=2x²+2y²+2z²)
S=8-{(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²}
显然,当x=y=z时,S=8.为最大值.
不懂啊,从开头就不懂,为什么x²+y²+z²=4.
或者用种新方法也可以.
▼优质解答
答案和解析
因为向量AB⊥向量AC,向量AB⊥向量AD,向量AC⊥向量AD
AB,AC,AD两两垂直,以A,B,C,D为其中四个顶点的长方体内接于球
因为长方体长宽高的平方和等于其体对角线的平方(在长方体两个面上用两次勾股定理),而其长宽高分别为2x,2y,2z,体对角线长度为球直径4
所以化简得x²+y²+z²=4
接下来还有不懂的吗?