不动点为什么能用来解数列通项不动点原理,为什么能用来解数列通项,请推导一下,（现在只在高中）

Question

不动点为什么能用来解数列通项
不动点原理,为什么能用来解数列通项,请推导一下,（现在只在高中）

Answer 1

如果只是高中范围内的话,不好深入说明其中原理,只能证明这是对的
递推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*,A,B,C,D为常数,C不为0,AD-BC不为0,a1与a2不等）
其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)
特征方程的根称为该数列的不动点
这类递推式可转化为等差数列或等比数列
1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β,则有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))
其中k=(A-α*C)/(A-β*C)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D
a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))
由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))
得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α,则有
1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k
其中k=(2*C)/(A+D)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
α=(A-D)/(2*C)
a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))
=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)
由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)
an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
类似的
递推式：
a(n+1)=(an^2+P)/(2*an+Q)
（n∈N*,P,Q为常数）
其特征方程为x=(x^2+P)/(2*x+Q)
1）若其有两个不等根α、β,即Q^2+4*P不等于0
则有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=((an-α)/(an-β))^2
令xn=ln((an-α)/(an-β))
则有：x(n+1)=2*xn
转化为了等比数列.
ln((a(n+1)-α)/(a(n+1)-β))=2*ln((an-α)/(an-β))
an=(β*((a1-α)/(a1-β))^(2^(n-1))-α)/(((a1-α)/(a1-β))^(2^(n-1))-1)
2）若其有重根α,即Q^2+4*P=0
则有：
an=(a1-α)/(2^(n-1))+α