求正多面体体积和表面积公式正四面体、正六面体、正八面体的公式比较简单,一齐写出来吧而求正十二面体、正二十面体比较复杂,这是我想要知道的

Question

求正多面体体积和表面积公式
正四面体、正六面体、正八面体的公式比较简单,一齐写出来吧
而求正十二面体、正二十面体比较复杂,这是我想要知道的

Answer 1

表面积就是面数乘以单个面面积(三角形√3a^2/4,正方形a^2,正五边形tan72a^2/2)
体积就是1/3表面积乘以中心到面的距离.(很容易在图形中用直角三角形推导出来)
tan72求法:
sin18=cos72=2cos36^2-1=2(1-2sin18^2)^2-1
即
x=2(1-2x^2)^2-1
8x^4-8x^2-x+1=0
(x-1)(2x+1)(4x^2+2x-1)=0
x=1或-1/2或(±√5-1)/4
稍加判断即可确定sin18=(√5-1)/4 cos18=√(10+2√5)/4
tan72=sin72/cos72=cos18/sin18=√(10+2√5)(√5+1)/4