同一等差数列顺序和逆序各对应项相乘的积组成一个新数列,求这个新数列的各项和1*(n-1)+2*(n-2)+3*(n-3)+...+(n-1)*1

Question

同一等差数列顺序和逆序各对应项相乘的积组成一个新数列,求这个新数列的各项和
1*(n-1)+2*(n-2)+3*(n-3)+...+(n-1)*1

Answer 1

设S(n-1)=1*(n-1)+2*(n-2)+...+(n-1)*1
每一项的第二个都加1,即
S(n-1)+n(n-1)/2=1*n+2*(n-1)+...+(n-1)*2
将右边再加一个n*1,即得Sn
所以S(n-1)+n(n-1)/2=Sn-n
即Sn-S(n-1)=(n^2+n)/2
.
S2-S1=(2^2+2)/2
S1=1*1=1
所以Sn=S1+(S2-S1)+...+(Sn-S(n-1))
=1+1/2(2^2+3^2+...+n^2)+1/2(2+3+...+n)
=1/2(1^2+2^2+...+n^2)+1/2(1+2+...+n)
=1/12n(n+1)(2n+1)+1/4n(n+1)
=1/6n(n+1)(n+2)
验证：S7=1/6*7*8*9=84
S7=1*7+2*6+3*5+4*4+5*3+6*2+7*1=2*(7+12+15)+16=84