已知三角形ABC的三个顶点是圆x²+y²-9x=0与抛物线y²=2px(p>0)的交点,且三角形ABC的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程

Question

已知三角形ABC的三个顶点是圆x²+y²-9x=0与抛物线y²=2px(p>0)的交点,且三角形ABC的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程

Answer 1

两个方程联立,解得x1=0,x2=9-2p
所以说,三角形三个顶点坐标为A（0,0）、B（9-2p,√【2p*（9-2p）】）、C（9-2p,-√【2p*（9-2p）】）
明显三角形为等腰三角形.x轴是底边BC上的高,所以垂心在x轴上.求垂心只用求出另外一个高与x轴的交点即可.
AB的直线方程斜率就是根（2p）/[√（9-2p）]
那么AB上的高斜率就是-【√（9-2p）】/根(2p),又因为过C点
直线方程就是y+√【2p*（9-2p）】=-【√（9-2p）】*(x-9+2p)/根（2p)
与x轴相交,y=0,x=9-4p
x=p
解得p=9/5
（ps：结果不一定正确,大致算了一下,你再按这个思路算算吧.）