求大神解释有关数列的几个定理我在一本书上看到如下一段话根据数列｛Xn｝的递推式Xn+1=aXn+b/cXn+d(ac不等于0),可列出不动点方程X=aX+bX/cX+dX,一当此方程有两个相异实根α,β时可检验｛Xn-α/Xn-β

Question

求大神解释有关数列的几个定理
我在一本书上看到如下一段话
根据数列｛Xn｝的递推式Xn+1=aXn+b/cXn+d(ac不等于0),可列出不动点方程X=aX+bX/cX+dX,
一当此方程有两个相异实根α,β时可检验｛Xn-α/Xn-β｝等比
二当此方程有两个相同实根α=β≠X1时,可检验｛1/Xn-β｝等差
三当此方程有两个相同实根α=β=X1时,可检验到常数列
四当此方程无实根时,可检验｛Xn｝是周期数列
这是为什么?还有不动点方程怎么用?

Answer 1

虚根出现周期的原因是因为特征根解出来的两虚根必定共轭,是可以通过欧拉公式变形为三角形式,因此存在周期性.不过一般来说,通过不动点解出来的分式递推式,如果出现虚根的话用i表示的通项公式往往比较难以看出周期,所以碰到这类情况的时候可以尝试通过穷举几项归纳出周期或者类比熟悉的三角公式（一般类比正切公式较多,如tan45°,tan60°等等）达到推出其他更简洁形式的通项公式.

用举个简单的例子,如a(n+1)=(1+an)/(1-an),a1=2这个解出来的是虚根,如果记得结论,可以知道{an-i/an+i}是公比为-1-i/-1+i的等比数列,不过计算量很大,而且算出来的形式也不简洁.这里可以尝试穷举法,很容易知道周期,也可以通过类比正切三角公式,这个形式跟tan（45°+x）=1+tanx/1-tanx是一模一样的,因此假设an=tanx,an=tan（45°+x）,显然是满足等式的,显然arctanan+1=45°+arctanan,因此{arctanan}是首项为arctan2,公差为π/4的等差数列了,因此,这个递推式有一个简洁的通项公式为an=arctan[arctan2+(n-1)π/4],因此有类似的如带根号3的,多多留意一下即可.

不过这推理过程高中都不需要理解,只要记住结论直接构造就行.