已知实数x,y满足x+y+1=0,p(x,y)是圆(x+1)平方+(Y-2)平方=1上的动点,则x平方+y平方的最小值是

Question

已知实数x,y满足x+y+1=0,p(x,y)是圆(x+1)平方+(Y-2)平方=1上的动点,则x平方+y平方的最小值是

Answer 1

也即求⊙(x+1)²+(y-2)²=到直线x+y+1=0最短距离的平方.
过(-1,2)作直线x+y+1=0的垂线,交点为P.记圆点(-1,2)为O,则OP²就是所求最小值.
∵OP所在直线与直线x+y+1=0垂直,∴二者斜率乘积为-1,∴OP所在直线的斜率为1.
∴OP所在直线的方程为y=x-1+2,即y=x+1.方程组x+y+1=0,y=x+1解得x=-1,y=0.
∴最小值是(-1)²+(0)²=1.