关于x的方程x^2+ax+b=0与x^2+px+q=0只有一个公共根,且a不等于p.试求以这两个方程相异的根为根的一元二次方程

Question

关于x的方程x^2+ax+b=0与x^2+px+q=0只有一个公共根,且a不等于p.试求以这两个方程相异的根为根的一元二次方程

Answer 1

设公共根是m
则m^2+am+b=0
m^2+pm+q=0
相减(a-p)m+b-q=0
m=(q-b)/(a-p)
由韦达定理
x^2+ax+b=0另一个跟是x1=-a-m
x^2+px+q=0另一个跟是x2=-p-m
则x1+x2=-a-p-2(q-b)/(a-p)=(p^2-a^2-2q+2b)/(a-p)
x1x2=(-a-m)(-p-m)=m^2+(a+p)m+ap=(q^2-2bq+b^2+a^2q-a^2b-p^2q+p^2b+a^3p-2a^2pq+ap^3)/(a-p)^2
所以方程是
x^2-(p^2-a^2-2q+2b)/(a-p)*x+(q^2-2bq+b^2+a^2q-a^2b-p^2q+p^2b+a^3p-2a^2pq+ap^3)/(a-p)^2=0