在在△ABC中,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.如图1,若∠DAC=2∠ABC

Question

在在△ABC中,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.如图1,若∠DAC=2∠ABC

Answer 1

已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD．
（1）如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC=45°
45°
；
（2）如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4．求BD的长；
（3）如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时,∠DAC=2∠ABC是否成立?若不成立,请说明你的理由；若成立,证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD,由平行四边形的性质得∠D=∠ABC,在△ACD中,由内角和定理求解；
（2）如图2,在△ABC外作等边△BAE,连接CE,利用旋转法证明△EAC≌△BAD,可证∠EBC=90°,BE=AB=3,在Rt△BCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE；
（3））∠DAC=2∠ABC成立,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC．并取BE的中点K,连接AK,仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD,利用内角和定理证明结论．（1）45；
（2）如图2,以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°,并在AE上取AE=AB,连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形,
∴AD=AC,∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°,AE=AB=3,
∴△AEB是等边三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°,
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）∠DAC=2∠ABC成立,
以下证明：
如图3,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC．并取BE的中点K,连接AK．
∵AH⊥BC于H,
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH,
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°,BE=2AH,
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵BD2=4AH2+BC2,
∴EC=BD．
∵K为BE的中点,BE=2AH,
∴BK=AH．
∵BK∥AH,
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°,
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE,EC=BD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°,∠ABC为锐角,
∴∠ABC=90°-∠EBA．
∵AB=AE,
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°-2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．