中学的平面几何求证问题,在直角三角形中,角C为90度,AC=BC,AD是角A的平分线,从B做AD的垂线,垂线交AD的延长线与E,求证：AD=2BE.请给出求证过程和依据的定理.

Question

中学的平面几何求证问题,
在直角三角形中,角C为90度,AC=BC,AD是角A的平分线,从B做AD的垂线,垂线交AD的延长线与E,求证：AD=2BE.请给出求证过程和依据的定理.

Answer 1

延长AC和BE,使它们相交于点F,
∵AD平分∠BAC
∴∠BAE=∠FAE,
又∵AD=AD,
∠AEB=∠AEF=90度
∴△ABE≌△AFE(ASA)
∴BE=EF(全等三角形的对应边相等)
∴BF=BE+EF=2BE
又∵在RT△ACD中
∠CAD+∠ADC=90度(直角三角形的两个锐角互余)
在RT△BED中
∠DBE+∠BDE=90度(直角三角形的两个锐角互余)
而∠ADC=∠BDE,(对顶角相等)
∴∠CAD=∠DBE(等角的余角相等)
在△ACD与△BCF中
∠CAD=∠DBE(已证)
AC=BC(已知)
∠ACD=∠BCF=90度
∴△ACD≌△BCF(ASA)
∴AD=BF=2BE(全等三角形的对应边相等)