设F是抛物线G：x2=4y的焦点．（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）过抛物线G的焦点F，作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A，C，B，D点，求四边形ABCD面积的最小值

Question

设F是抛物线G：x²=4y的焦点．
（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（Ⅱ）过抛物线G的焦点F，作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A，C，B，D点，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

（I）由题设切线y=kx-4（k显然存在）
又x²=4y联立得x²-4kx+16=0
∴△=0即16k²-4×16=0，解得k=±2
∴切线方程为y=±2x-4
（II）由题意，直线AC斜率存在，又对称性，不妨k＞0
∴AC：y=kx+1∴x²-4kx-4=0
又x²=4y
∴x₁+x₂=4kx₁•x₂=-4
∴|AC|＝√(1+k2)•√((x1+x2)2−4x1x2)=4（1+k²）
同理|BD|＝4[1+(−(1)/(k))2]＝(4(1+k2))/(k2)
∴SABCD＝(1)/(2)|AC|•|BD|＝(8(1+k2)2)/(k2)=8(k2+2+(1)/(k2))≥32
当k=1时，“=”成立，∴S_min=32