我们知道，三条边都相等的三角形叫等边三角形．类似地，我们把弧长等于半径的扇形称为“等边扇形”．小明准备将一根长为120cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个“等边扇形”

Question

我们知道，三条边都相等的三角形叫等边三角形．类似地，我们把弧长等于半径的扇形称为“等边扇形”．小明准备将一根长为120cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个“等边扇形”．
（1）小明想使这两个“等边扇形”的面积之和等于625cm²，他该怎么剪？
（2）这两个“等边扇形”的面积之和能否取得最小值？若能，请求出这个最小值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）假设一段为x，则另一段为120-x，
∴扇形的半径分别为：(x)/(3)，40-(x)/(3)，
∴扇形面积分别为：S₁=(1)/(2)lr=(1)/(2)×(x)/(3)×(x)/(3)=(x2)/(18)，
S₂=(1)/(2)LR=(1)/(2)×（40-(x)/(3)）²=(x2)/(18)-(40)/(3)x+800，
∴S₁+S₂=(x2)/(18)+(x2)/(18)-(40)/(3)x+800，
=(x2)/(9)-(40)/(3)x+800，
当625=(x2)/(9)-(40)/(3)x+800，
∴x²-120x+1575=0，
解得：x₁=15，x₂=105，
∴一段为15，则另一段为105．
（2）假设两个“等边扇形”的面积之和为y，
∴y=(x2)/(9)-(40)/(3)x+800，
当x=-(b)/(2a)=60时，
y取到最小值为：(4ac−b2)/(4a)=400．