等腰直角三角形内一点到底的两顶点的距离分别为1和3,到直角顶点的距离为2.求该三角形面积

Question

等腰直角三角形内一点到底的两顶点的距离分别为1和3,到直角顶点的距离为2.求该三角形面积

Answer 1

设等腰三角形ABC,AB=BC,内的一点为P,PA=1,PB=2,PC=3
把三角形ABC以B为顶点向左旋转90度,这样A点到了A1,C与A重合.P点到P1,即有：P1B=PB=2,P1A=PC=3
因为是旋转90度,所以角P1BP=90,即P1PB是等腰直角三角形那么角P1PB=45
那么PP1=根号（P1B^2+PB^2)=2根2
在三角形P1PA中,P1A^2=9=P1P^2+PA^2
所以P1PA是直角三角形,角P1PA=90
即角APB=角P1PA+角P1PB=90+45=135度
根据余弦定理 ：AB^2=PA^2+PB^2-2PA*PBcosAPB=1+4-2*1*2*(-根2/2)=5+2根2
所以三角形的面积=1/2*AB*BC=1/2*AB*AB=1/2（5+2根2）