多元（2元）函数微分学求最值问题要制造一个无盖的长方形水槽,已知它的底部造价为18元每平方米,侧面总造6元每平方米,设计总造价216元如何设计它的尺寸,才能使水槽容积最大?

Question

多元（2元）函数微分学求最值问题
要制造一个无盖的长方形水槽,已知它的底部造价为18元每平方米,侧面总造6元每平方米,设计总造价216元如何设计它的尺寸,才能使水槽容积最大?

Answer 1

设长宽高为x,y,z,根据题意,所求问题可写为如下条件极值问题：
max V = xyz
subject to:18xy + 12(xz + yz) = 216.
或者 3xy + 2xz + 2yz = 36.
写拉格朗日函数
L = xyz - lambda (3xy + 2xz + 2yz - 36),求导：
Lx = yz - lambda (3y + 2z) = 0；（1）
Ly = xz - lambda (3x + 2z) = 0；（2）
Lz = xy - lambda (2x + 2y) = 0；（3）
以及约束条件 3xy + 2xz + 2yz = 36.（4）
移项后,(1)/(2),得到
y/x = (3y+2z)/(3x+2z),推出x = y；
同理,(2)/(3),得到：
z/y = (3x+2z)/(2x+2y) ,并代入x = y,推出z = 3x/2 ；
最后将 y = x以及z = 3x/2都代入（4）,可以求出x = 2,从而y = 2,z = 3.
答案：最佳尺寸为 长 = 2,宽= 2,高 = 3.