高等函数极限和无穷大问题.证明：函数y=(1/x)sin(1/x)在区间（0,1]上无界,但是这个函数不是x→0+时的无穷大.书上的习题,我是其中运算的步骤不懂.

Question

高等函数极限和无穷大问题.
证明：函数y=(1/x)sin(1/x)在区间（0,1]上无界,但是这个函数不是x→0+时的无穷大.书上的习题,我是其中运算的步骤不懂.

Answer 1

1）函数等价于y=tsint t∈[1,+∞),
因为当t→+∞时sint在上述区间内是正负波动的,所以tsint不可能是无穷大的（函数|tsint|才是无穷大）；
2）另外考查函数在区间内有无界的问题；
因为在区间内存在sint=1的解集A,且A是[1,+∞)的子集,
当 t∈A时,y=t,此时函数显然是无界的,
即y在其定义域的一个子集内无界,y当然也在其定义域内无界.