如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．（1）求证：AC⊥BD；（2）若OA、OC为方程x2-mx+3.84=0的二根，求△AOB的面积．

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．

（1）求证：AC⊥BD；
（2）若OA、OC为方程x²-mx+3.84=0的二根，求△AOB的面积．

Answer 1

（1）证明：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，
∵AD∥BC，
∴四边形ACKD是平行四边形，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，
∴BK=BC+CK=5，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD；
（2）∵OA、OC为方程x²-mx+3.84=0的二根，OA+OC=AC=4，
∴方程为x²-4x+3.84=0，
解方程得：x₁=1.6，x₂=2.4，
∴OA=1.6，OC=2.4，
在RT△BOC中，OB=√(BC2−OC2)=√(32−2．42)=1.8，
∴S_△AOB=(1)/(2)OA•OB=(1)/(2)×1.6×1.8=(36)/(25)．