正多边形面积公式问题!速来!这是证明方法里面只有一步不懂设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,连接OA、OB,得一三角形AOB,其面积为：S'AOB则,S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(α/2)且,

Question

正多边形面积公式问题!速来!
这是证明方法
里面只有一步不懂
设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,
连接OA、OB,得一三角形AOB,其面积为：S'AOB
则,S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(α/2)
且,AB/2=Rsin(α/2),即AB=2Rsin(α/2)
就是这一步拉:
[故,S'△AOB=(1/2)*2R^2sin(α/2)cos(α/2)
S'△AOB=(1/2)R^2sinα ]
不知道是怎么换算过来的.越快越好.
正n边形的面积S=n*S△AOB
故,S=(1/2)nR^2sinα

Answer 1

三角函数关系计算,不妨设OD⊥AB于D,
则OD=OA*cos(a/2)=R*cos(a/2),
AD=Rsin(a/2),
AB=2AD=2Rsin(a/2),
S'△AOB=1/2*AB*OD=(1/2)*AB*Rcos(α/2)
=1/2*2Rsin(a/2)*Rcos(α/2)
=1/2*R^2*sina ,
注,sina=2sin(a/2)cos(a/2),是倍角公式,高中学的.