已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a,b均>0)的一焦点到其相应准线的距离为1/2,经过点A(0,-b)及B(a,0)的直线到原点的距离为√3/21求双曲线方程2是否存在直线l:y=kx+5(k不=0),它与双曲线交于CD两点,使得CD两点

Answer 1

过程有点多,慢慢看o(∩_∩)o...
1问
由题意可得:c-(a^2/c)=1/2
即：b^2/c=1/2
∵直线经过点A(0,-b)及B(a,0)
∴直线的方程为：(x/a)-(y/b)=1
整理得：bx-ay-ab=0
∵直线到原点的距离为√3/2
∴|-ab|/c=√3/2
∴(a^2*b^2)/(c^2)=3/4
∵b^2/c=1/2
∴a^2/c=3/2
∴右准线方程为：x=3/2
∵焦点到其相应准线的距离为1/2
∴右焦点的坐标为（2,0）
即：c=2
∴a^2=3;b^2=1
故：双曲线方程为：x^2/3-y^2=1
2问
存在,l的方程为：y=±√7x+5
假设存在符合题意的直线l,并设过点A作垂直CD的直线l2
垂足M坐标为:(xo,yo)
∵b^2=1
∴b=1
∴点A坐标为(0,-1)
设C,D的坐标为(x1,y1),(x2,y2)
∵CD两点都在以A为圆心的同一个圆上
∴l2垂直平分CD
即：C,D关于l2对称
∴l2的斜率为：-1/k
则l2的方程可设为：y=-x/k-1
∵C,D在双曲线上
∴x1^2/3-y1^2=1;x2^2/3-y2^2=1
两式相减可得：
(x1-x2)(x1+x2)=3*(y1-y2)(y1+y2)
∵k不=0
∴y1不=y2
(y1-y2)/(x1-x2)=3*(y1+y2)/(x1+x2)
∵C,D在l上
∴(y1-y2)/(x1-x2)=k=(x1+x2)/[3*(y1+y2)]
∵l2垂直平分CD
∴(y1+y2)/(x1+x2)=xo/yo
∴k=xo/(3yo)
∴yo=xo/(3k)
∵M在l2上
∴yo=-xo/k-1
∴xo/(3k)=-xo/k-1
∴xo=-3k/4
∵M在l2上
∴yo=-(-3k/4)/k-1=-1/4
又∵M在l上
∴yo=k*(-3k/4)+5=-(3k^2-20)/4
∴-1/4=-(3k^2-20)/4
∴k^2=7
将l的方程代入双曲线方程得：(3k^2-1)x^2+30kx+78=0
∵l:y=kx+5,它与双曲线交于CD两点
∴△>0
化简整理得：9k^2-78