利用布洛赫定理Ψk（x+na）=Ψk（x）eiK.r的形式,针对一维周期势场中的电子波函数：（1）Ψk（x）=sinπx/a（2）Ψk（x）=icos3πx/a（3）Ψk（x）=∑l=负无穷到正无穷f（x-la）求电子在这些状态的波

Question

利用布洛赫定理Ψk（x+na）=Ψk（x）eiK.r的形式,针对一维周期势场中的电子波函数：
（1） Ψk（x）=sinπx/a
（2） Ψk（x）=icos3πx/a
（3） Ψk（x）=∑l=负无穷到正无穷f（x-la）
求电子在这些状态的波矢K（a为晶格常数）

Answer 1

一维情况下电子的波函数满足
Ψk（x+a）=eikaΨk(x)
第一问Ψk(x+a)=sinπ(x+a)/a=sin(πx/a+π)=-sinπx/a=-Ψk(x)=eikaΨk(x)
所以eika=-1 k=正负π/a,正负3π/a,正负5π/a,……
第二问Ψk(x+a)=icos[3π(x+a)/a]=icos(3πx/a+π)=-icos3πx/a=-Ψk(x)=eikaΨk(x)
所以eika=-1 k=正负π/a,正负3π/a,正负5π/a,……
第三问Ψk（x+a）=∑l=负无穷到正无穷f（x+a-la）=∑l=负无穷到正无穷f[x-（l-1）a]
令l’=l-1 有Ψk（x+a）=∑l=负无穷到正无穷f（x-l’a）=Ψk（x）=eikaΨk（x）
所以eika=1 k=0,正负2π/a,正负4π/a,正负6π/a,……