设常数c∈（1，9），求函数f（x）=x+cx在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Question

设常数c∈（1，9），求函数f（x）=x+(c)/(x)在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Answer 1

由基本不等式可得f（x）=x+(c)/(x)≥2√(c)，
当且仅当x=(c)/(x)即x=√(c)时取等号，
∵c∈（1，9），∴√(c)∈（1，3），
∴函数f（x）=x+(c)/(x)在x∈[1，3]上的最小值为2√(c)，
又f′（x）=1-(c)/(x2)，当x∈[1，√(c)]时，函数单调递减，
当x∈[√(c)，3]时，函数单调递增，
∴当x=1或x=3时，函数取最大值，
又f（1）=1+c，f（9）=9+(c)/(9)，
作差可得（1+c）-（9+(c)/(9)）=(8)/(9)（c-9）＜0，
∴函数f（x）=x+(c)/(x)在x∈[1，3]上的最大值为f（9）=9+(c)/(9)．