是否存在一个三角形同时具有以下性质：（1）三边是连续的三个自然数（2）最大角是最小角的2倍．

Question

是否存在一个三角形同时具有以下性质：
（1）三边是连续的三个自然数
（2）最大角是最小角的2倍．

Answer 1

设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，
由正弦定理可得 (n−1)/(sinα)＝ (n+1)/(sin2α)，∴cosα=(n+1)/(2(n−1))．
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•(n+1)/(2(n−1))，
化简可得n²-5n=0，∴n=5． 此时，三角形的三边分别为：4，5，6，可以检验最大角是最小角的2倍．
综上，存在一个三角形三边长分别为 4，5，6，且最大角是最小角的2倍．