话说有个农场主临死前立遗嘱说：把1匹马和余数的1/7给大儿子；把2匹马和余数的1/7给老二；把3匹马和余数的1/7给老三；以此类推,正好分完,每个儿子都有马,那么请问：一共几匹马?几个儿子

Question

话说有个农场主临死前立遗嘱说：
把1匹马和余数的1/7给大儿子；
把2匹马和余数的1/7给老二；
把3匹马和余数的1/7给老三；
以此类推,正好分完,每个儿子都有马,那么请问：
一共几匹马?几个儿子?

Answer 1

设最后一个儿子为第N个儿子,他将分配到 N匹马.
倒数第二个儿子将分配到：N-1 + N/6 匹马.第N-1个儿子 先取走N-1匹,然后再取走余下马匹数量的1/7.这意味着余下马匹数量的6/7将留给第N个儿子.1/7 是 6/7 的1/6,而第N个儿子得到N匹马,所以是 N-1 + N/6.
倒数第三个儿子将分配到：N-2 + 后两个儿子分配到的马匹数之和/6
= N-2 + (2N-1 + N/6)/6 = N-2 + (13N-6)/36
余此类推倒数第四个儿子……
至少要保证倒数第二个儿子分配到整数匹,则N/6 是整数,N必须是6的整倍数.设 N = 6M,其中 M=1、2、3
至少要保证倒数第三个儿子分配到整数匹,则(13N-6)/36 是整数.
设 (13N-6)/36 = K .其中 K = 1、2、3……
13N-6 = 36K
13N = 6(6K+1)
13M = 6K+1
此方程整数解为
M=1、K=2
M=7、K=15
M=13、K=28
……
M=7时,N=6M=42,即老人有42个儿子,这在实际生活中不合理.同时经检验也不能保证倒数第4个儿子分配到的马匹数是整数.
M=13 N=78 时,也不能保证倒数第4个儿子分配到整数的马匹数.
总之,经不完全归纳,只有 M=1,N=6是合理的.
即共有6个儿子.而马匹数的情况为：
第6个儿子：6 + 0/7 = 6
第5个儿子：5 + 6/6 = 6
第4个儿子：4 + (6+6)/6 = 6
第3个儿子：3 + (6+6+6)/6 = 6
第2个儿子：2 + 6*4/6 = 6
第1个儿子：1 + 6*5/6 = 6
以上合计 36匹马.
从前往后看：
第1个儿子：1 + 35/7 = 6
第2个儿子：2 + 28/7 = 6
第3个儿子：3 + 21/7 = 6
第4个儿子：4 + 14/7 = 6
第5个儿子：5 + 7/7 = 6
第6个儿子：6 + 0/7 = 6