数列{an}中,an=2^n,数列{bn}中,bn=3n+2,由这2个数列中相同项依次组成一个新数列{cn},求c100=?

Question

数列{an}中,an=2^n,数列{bn}中,bn=3n+2,由这2个数列中相同项依次组成一个新数列{cn},求c100=?

Answer 1

根据题意,数列Cn相当于数列An和Bn的元素交集,但每个相同元素在原数列中的位置并不相同,即2^j=3k+2,其中j和k表示Cn中元素在An和Bn中的位置（项数）.
整理得2^j-2=3k,即等式左边的偶数是右边3的倍数.Cn中的每个数减去2之后所得到差值的每一位数（如个、十、百等）的和是3的倍数.通过枚举可知,从8开始,每隔一个出现一次,即{Cn}={8,32,128,512,2048,8192,...},该数列是首项为8,公比为4的等比数列.因此C100=8*4^99=(2^3)*(2^198)=2^201.