已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），（1）令bn=an+1，求证：数列{bn}是等比数列；（2）求an的表达式．

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺），
（1）令b_n=a_n+1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求a_n的表达式．

Answer 1

（1）∵a₁=1，
∴a₁+1≠0．
∵a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
且a_n+1≠0．
∴(an+1+1)/(an+1)=2，n∈N^*．
∵b_n=a_n+1，
∴b₁=2，(bn+1)/(bn)=2．
∴数列{b_n}是首项为2，公式为2的等比数列．
（2）由（1）可知bn=2n，
a_n的表达式为：an=2n-1．