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求证三边为整数的直角三角形的面积不可能为完全平方数
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求证三边为整数的直角三角形的面积不可能为完全平方数
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答案和解析
设直角三角形的三边长分别为:a,b,c(c为斜边长)
假如它的面积S是某个数n的平方,那么可设a=n,b=2n(这样S=1/2ab=n^2,S就是n的完全平方数)
但是,根据勾股定理有:
a^2+b^2=c^2
也就是说,a^2+b^2=5n^2=c^2
这样解出c=n根号5,所以c不可能是整数
这与题目条件相矛盾.所以三边为整数的直角三角形的面积不可能为完全平方数
假如它的面积S是某个数n的平方,那么可设a=n,b=2n(这样S=1/2ab=n^2,S就是n的完全平方数)
但是,根据勾股定理有:
a^2+b^2=c^2
也就是说,a^2+b^2=5n^2=c^2
这样解出c=n根号5,所以c不可能是整数
这与题目条件相矛盾.所以三边为整数的直角三角形的面积不可能为完全平方数
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