代数系统单位元,证明题如果一个代数系统（S,*）左单位元和右单位元存在,证明：1）（S,*）的单位元存在；2）单位元唯一

Question

代数系统单位元,证明题
如果一个代数系统（S,*）左单位元和右单位元存在,证明：
1）（S,*）的单位元存在；
2）单位元唯一

Answer 1

（1）设左单位元和右单位元分别为el,er.
因el为左单位元,所以el*er=er
又er为右单位元,所以el*er=el,
所以el*er=er=el,即左单位元同时也是右单位元,因此单位元存在.
（2）假设单位元不唯一,设e1,e2都是单位元,且e1!=e2.易得
e1*e2＝e2=e1,e1!=e2矛盾,因此单位元唯一.