为什么等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直这个命题为假

Question

为什么等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直这个命题为假

Answer 1

第一个问题：
不失一般性,设梯形ABCD中,AB∥DC,AD＝BC,AB＞DC,AC与BD相交于O.
∵AB∥DC,∴△OAB∽△OCD,∴OA/OC＝AB/DC,又AB＞DC,∴AB/DC＞1,∴OA/OC＞1,
∴OA＞OC.
∴等腰梯形的对角线互相平分 是一个假命题.
第二个问题：
不失一般性,设梯形ABCD中,AB∥DC,AD＝BC,AB＞DC,AC与BD相交于O.
∵AB∥DC、AD＝BC,∴AC＝BD、∠ABC＝∠BAD,∴△ABC≌△BAD,∴∠OBA＝∠OAB,
∴∠AOB＝180°－∠OBA－∠OAB＝180°－2∠OAB.
很明显,∠OAB不一定等于45°,∴∠AOB不一定为直角.
∴等腰梯形的对角线互相垂直 是一个假命题.