已知函数f(x)=x+4/x.求证:函数f(x)在区间(0,2)上是减函数,在区间2,+∞)上是增函数.同时,请写出函数f（x）的所有递增区间.

Question

已知函数f(x)=x+4/x.求证:函数f(x)在区间(0,2)上是减函数,在区间【2,+∞)上是增函数.同时,请写出函数f（x）的所有递增区间.

Answer 1

1. 1）定义法证明：
设任意2>x1＞x2＞0,x1-x2>0
f（x1）-f（x2)=（x1-x2)-4/x1+4/x2=(x1-x2)[1-4/(x1x2)]
因为x1x2＜4,则1-4/(x1x2)＜0,f（x1）-f（x2)＜0,函数单减
设任意x1＞x2＞2,x1-x2>0
f（x1）-f（x2)=（x1-x2)-4/x1+4/x2=(x1-x2)[1-4/(x1x2)]
因为x1x2＞4,则1-4/(x1x2)＞0,f（x1）-f（x2)＞0,函数单增
2） 导数法证明：
f’（x）=1-4/（x^2)
则2>x＞0时,f’（x）<0,x>2时,f’（x）>0得证
2.易证得函数为奇函数,则f（x）的所有递增区间：
【2,+∞) ,（-∞,-2】