椭圆长轴为4,左顶点在圆(x-4)^2+(y-1)^2=4上,左准线为Y轴,求椭圆离心率e的范围.

Question

椭圆长轴为4,左顶点在圆(x-4)^2+(y-1)^2=4上,左准线为Y轴,求椭圆离心率e的范围.

Answer 1

设A(x0,y0)为左顶点,F(-c,0)（c＞0）为左焦点,
2a＝4→a＝2,
∴|AF|＝2-c,
点A到Y轴的距离d＝x0,
依定义知e＝|AF|/d＝(2-c)/x0,
∴x0＝(2-c)/e,而e＝c/a＝c/2,
∴c＝2e,
∴x0＝(2-2e)/e＝2[(1/e)-1]
→x0-4＝2[(1/e)-3].
∵点A在已知圆上,
∴-1≤（1/e)-3≤1,
即e∈[1/4,1/2].