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若一个三角形三条边长是三个连续的自然数.如果最大内角是最小内角的两倍,求她的最小边的长度
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若一个三角形三条边长是三个连续的自然数.如果最大内角是最小内角的两倍,求她的最小边的长度
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答案和解析
设三边依次是x-1、x、x+1,其中x是自然数,且x≧2.
令三角形的最小角为A,则最大角为2A.
由正弦定理,有:(x-1)/sinA=(x+1)/sin2A=(x+1)/(2sinAcosA).
显然有:sinA>0,∴x-1=(x+1)/(2cosA),∴cosA=(x+1)/(2x-2).
由余弦定理,有:cosA=[x^2+(x+1)^2-(x-1)^2]/[2x(x+1)],
∴[x^2+(x+1)^2-(x-1)^2]/[2x(x+1)]=(x+1)/(2x-2),
∴(x^2+x^2+2x+1-x^2+2x-1)/(x^2+x)=(x+1)/(x-1),
∴(x^2+4x)/(x^2+x)=(x+1)/(x-1),
∴(x+4)/(x+1)=(x+1)/(x-1), ∴(x+1)^2=(x+4)(x-1),
∴x^2+2x+1=x^2+3x-4, ∴x=5, ∴x-1=4.
即:该三角形的最小边长度为4.
令三角形的最小角为A,则最大角为2A.
由正弦定理,有:(x-1)/sinA=(x+1)/sin2A=(x+1)/(2sinAcosA).
显然有:sinA>0,∴x-1=(x+1)/(2cosA),∴cosA=(x+1)/(2x-2).
由余弦定理,有:cosA=[x^2+(x+1)^2-(x-1)^2]/[2x(x+1)],
∴[x^2+(x+1)^2-(x-1)^2]/[2x(x+1)]=(x+1)/(2x-2),
∴(x^2+x^2+2x+1-x^2+2x-1)/(x^2+x)=(x+1)/(x-1),
∴(x^2+4x)/(x^2+x)=(x+1)/(x-1),
∴(x+4)/(x+1)=(x+1)/(x-1), ∴(x+1)^2=(x+4)(x-1),
∴x^2+2x+1=x^2+3x-4, ∴x=5, ∴x-1=4.
即:该三角形的最小边长度为4.
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