若一个三角形三条边长是三个连续的自然数.如果最大内角是最小内角的两倍,求她的最小边的长度

Question

若一个三角形三条边长是三个连续的自然数.如果最大内角是最小内角的两倍,求她的最小边的长度

Answer 1

设三边依次是x－1、x、x＋1,其中x是自然数,且x≧2.
令三角形的最小角为A,则最大角为2A.
由正弦定理,有：（x－1）/sinA＝（x＋1）/sin2A＝（x＋1）/（2sinAcosA）.
显然有：sinA＞0,∴x－1＝（x＋1）/（2cosA）,∴cosA＝（x＋1）/（2x－2）.
由余弦定理,有：cosA＝［x^2＋（x＋1）^2－（x－1）^2］/［2x（x＋1）］,
∴［x^2＋（x＋1）^2－（x－1）^2］/［2x（x＋1）］＝（x＋1）/（2x－2）,
∴（x^2＋x^2＋2x＋1－x^2＋2x－1）/（x^2＋x）＝（x＋1）/（x－1）,
∴（x^2＋4x）/（x^2＋x）＝（x＋1）/（x－1）,
∴（x＋4）/（x＋1）＝（x＋1）/（x－1）,　∴（x＋1）^2＝（x＋4）（x－1）,
∴x^2＋2x＋1＝x^2＋3x－4,　∴x＝5,　∴x－1＝4.
即：该三角形的最小边长度为4.