函数：对数函数（高一）已知f(x)=log4(4^x+1)+kx(k属于R)是偶函数（I）求k的值（II）证明：对任意实数b,函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b最多只有一个交点

Question

函数：对数函数（高一）
已知f(x)=log4(4^x +1)+kx(k属于R)是偶函数
（I）求k的值
（II）证明：对任意实数b,函数y=f(x)的图象
与直线y=1/2 x+b最多只有一个交点

Answer 1

为了让你看清楚,写的复杂些,看懂后自己简化吧
(1)f(x)=log4(4^x +1)+kx=log4(4^(kx+x)+4^kx)
f(x)=f(-x)则4^(kx+x)+4^kx=4^(-kx-x)+4^（-kx）两边同乘以4^4^(kx+x)
4^[(2k+1)x](4^x+1)=4^x+1得4^[(2k+1)x]=1
所以2k+1=0 ,k=-1/2
(2)证明：f(x)=log4(4^x +1)-1/2x
联立得log4(4^x +1)=x+b
4^x+1=4^(x+b)即4^x(4^b-1)-1=0
当b=0时,-1=0,无交点
当b≠0时,函数y=4^x(4^b-1)-1为单调函数,与X轴最多一个交点