求函数值域有多少种方法?试举例说明

Question

求函数值域有多少种方法?
试举例说明

Answer 1

1观察法 1.1根据函数的定义域以及对应法则观察得到它的值域 例1：函数y＝a＋bx+c(a,b,c均为常数,且b≠0)的值域为［a,＋∞）； 函数y＝a-bx+c (a,b,c均为常数,且b≠0)的值域为（-∞,a］.1.2根据函数的定义,有的函数可用例举法或简单的计算得出它的值域 例2：狄里赫雷函数y＝1(x为有理数） 0（x为无理数）的值域是.{0,1} 例3 求函数f(n)＝sin(nπ3) (n∈z)的值域.∵n∈Z,设n＝6R+r,（R∈Z,r=0,1,2,3,4,5） ∵f(n)=sinnπ3=sin13(6R+r)π=sin2kπ+r3π=6sinrπ3,当r依次取0,1,2,3,4,5时,f(n)的值依次是0,32,32,0,-32,-32 ∴函数f(n)＝sinnπ3的值域是-32,0,32.1.3根据函数的基本性质,求出函数的值域 例4 求指数函数y＝33-x2的值域.∵3－x2≤3,且3＞1∴0＜33-x2≤33 即0＜y≤27 ∴函数y＝33-x2的值域是［0,27］.例5 求函数y=cos2x-4cosx+6的值域.y=cos2x-4cosx+6=(cosx-2）2+2 ∵-1≤cosx≤1,∴-3≤cosx-2≤-1,∴1≤(cosx-2)2≤9 ∴3≤y≤11 即函数的值域是［2,10］.2反函数法 若所求函数的反函数存在,利用原函数和它的反函数的定义域和值域关系,通过反函数的定义域,而求得原函数的值域.例6 求函数y=3x+22x-5的值域.由2x－5≠0 可知这个函数的定义域是x≠52,由y=3x+22x-5,得x=2+5y2y-3,∵函数x=2+5y2y-3的定义域是y≠32,∴函数y=3x+22x-5的值域是y≠32的一切实数.3图象法 利用函数的图象,直观地得出函数的值域 例7 求函数y＝｜x-3｜-｜x+1｜的值域.y＝｜x-3｜-｜x+1｜ ＝-4,(x 3) 2-2x,(-1