十个元素组成的集合{19,93-1,0,25,-78,-94,1,17,-2}.M的所有非空子集记为Mi(i=1,2...,1023),每一非空子集中所有元素的乘积记为mi(i=1,2,...1023),则∑mi=(i=1,2,...1023)

Question

十个元素组成的集合{19,93-1,0,25,-78,-94,1,17,-2} .M的所有非空子集记为 Mi(i=1,2...,1023),每一非空子集中所有元素的乘积记为mi(i=1,2,...1023),则∑mi= (i=1,2,...1023)

Answer 1

设一个包含有n个元素,分别为a1...ak的集合
n=1 S1=∑mi=a1
n=2 S2=∑mi=a1+a2+a1a2=(a1+1)(a2+1)-1
下面用数学归纳法证明Sn=(a1+1)(a2+1)...(an+1)-1
n=1时成立
若n=k时成立
n=k+1时 S(k+1)=Sk+a[k+1](1+a1+...+ak+a1a2+...)=Sk+a[k+1](Sk+1)
=(a1+1)...(ak+1)-1+a[k+1](a1+1)...(ak+1)=...
因此上式成立.因为-1在集合内,最后结果为0-1=-1