帮助证明合数两个完全平方数中间至少有两个合数打错了，是质数

Question

帮助证明合数
两个完全平方数中间至少有两个合数
打错了，是质数

Answer 1

如果a是大于等于2的正整数,那么在a^2与(a+1)^2之间至少存在两个合数
证明：
因为a是大于等于2的正整数
所以
(a＋1)^2－(a^2＋a)
＝a^2＋2a＋1－a^2－a
＝a＋1＞0
所以
a^2＋a＜(a＋1)^2
同样有：
(a＋1)^2－(a^2＋2a)
＝a^2＋2a＋1－a^2－2a
＝1＞0
所以
a^2＋2a＜(a＋1)^2
另一方面,显然有：
a^2＋a＞a^2
a^2＋2a＞a^2
所以a^2＋a和a^2＋2a一定在a^2和(a＋1)^2之间
由于
a^2＋a＝a(a＋1)
a^2＋2a＝a(a＋2)
所以a^2＋a和a^2＋2a一定是合数
所以如果a是大于等于2的正整数,
那么在a^2与(a+1)^2之间至少存在两个合数