证明对于任意正整数n,(2+√3)^n必可表示成√s+√s-1的形式.

Question

证明对于任意正整数n,(2+√3)^n必可表示成√s+√s-1的形式.

Answer 1

　　令a=2 b=√3
（a＋b)^n=a^n+C(n,1)[a^(n-1)]*b+C(n,2)[a^(n-2)]*b^2+.+C(n,n-1)a*[b^(n-1)]+C(n,n)b^n
令(a＋b)^n的整数部分为A 无理部分为B
则A^2-B^2=（A+B)(A-B) =[(a＋b)^n][(a-b)^n]=(a^2-b^2)^n=1 B＝√（A^2-1）
所以(2+√3)^n＝A＋B＝√A^2 ＋ √（A^2-1）
有一个部分不太好理解（a＋b)^n的无理部分B的次数均为奇数m,
所以 -C(n,m)[a^(n-m)]*b^m=C(n,m)[a^(n-m)]*(-b)^m
因此A-B＝[a+(-b)]^n=(a-b)^n