已知向量a≠向量b,|b|≠1,对任意t属于R,恒有|a-tb|≥|a-b|,求向量a,b应满足什么条件?如题

Question

已知向量a≠向量b,|b|≠1,对任意t属于R,恒有|a-tb|≥|a-b|,求向量a,b应满足什么条件?
如题

Answer 1

| a-tb |≥| a-b |,
平方得：a^2-2ta•b+t^2b^2≥a^2-2a•b+b^2,
-2ta•b+t^2b^2≥-2a•b+b^2,
t^2b^2-2ta•b+2a•b-b^2≥0,
这是关于t的二次不等式,恒成立,
只需b^2>0,△=4(a•b)^2-4 b^2 (2a•b- b^2)≤0,
(a•b)^2-2 b^2*a•b+ b^4≤0,
(a•b-b^2)^2≤0,
所以a•b-b^2=0
∴b•（a-b）=a•b- b^2=0,
所以向量b垂直于向量（a-b）.