是否存在整数x,y满足x^2+4xy+2y^2=2013?请证明你的结论.

Question

是否存在整数x,y满足x^2+4xy+2y^2=2013?请证明你的结论.

Answer 1

不存在.证明如下：
因为x^2=2013-4xy-2y^2,
所以x为奇数,令x=2k+1,代入方程得：
4k^2+4k+1+4(2k+1)y+2y^2=2013
即k(k+1)+(2k+1)y+y^2/2=503
因此y须为偶数,令y=2t,代入得：
k(k+1)+2t(2k+1)+2t^2=503
因为k(k+1)为连续两个整数的积,它为偶数,所以等式左边为偶数,偶右边却为奇数503.
矛盾.
因此不存在这样的整数x,y.