x^3+2x^2+3x+4=0,三根为x1,x2,x3,求x1^3+x2^3+x3^3=?

Question

x^3+2x^2+3x+4=0,三根为x1,x2,x3,求x1^3+x2^3+x3^3 =?

Answer 1

因三根为x1,x2,x3
故原方程还可以写成：
（x-x1)*(x-x2)*(x-x3）=0
展开得：
x^3-(x1+x2+x3)x^2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3=0
对比原方程,有：
-(x1+x2+x3)=2
x1x2+x1x3+x2x3=3
-x1x2x3=4
因三根为x1,x2,x3
故他们均满足原方程
故
x1^3+2x1^2+3x1+4=0
x2^3+2x2^2+3x2+4=0
x3^3+2x3^2+3x3+4=0
故
-（x1^3+x2^3+x3^3 ）
=2（x1^2+x2^2+x3^2 ）+3（x1+x2+x3）+12
=2[（x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x1x3+x2x3）]+3（x1+x2+x3）+12
=2（x1+x2+x3)^2-4(x1x2+x1x3+x2x3）+3(x1+x2+x3）+12
=2*2^2-4*3-3*2+12
=2