利用函数图像求值域和最值：1.f(x)=2x^2-4x+3,x∈(-2,4)2.f(x)=根号下-x^2+2x

Question

利用函数图像求值域和最值：1.f(x)=2x^2-4x+3,x∈(-2,4) 2.f(x)=根号下-x^2+2x

Answer 1

(1) f(x)=2x^2-4x+3,x∈(-2,4)
化简 f(x)=2x^2-4x+3
=2(x^2-2x+1)+1
=2(x-1)^2+1
f(x)的图像：对称轴是x=1,顶点坐标(1,1),开口向上的抛物线.
所以,当-2≤x≤1,f(x)是减函数,f(-2)=19,f(1)=1
当1≤x≤4,f(x)是增函数,f(4)=19,f(1)=1.
故在定义域x∈(-2,4),f(x)的值域是[1 ,19],最大值是19；最小值是1.
(2) f(x)=√-x^2+2x
化简 f(x)=√-(x-1)^2+1
设u=-(x-1)^2+1
u(x)的图像：对称轴是x=1,顶点坐标(1,1),开口向下,过原点的抛物线.
为使f(x)=√u有意义,则必须保证u≥0,即-(x-1)^2+1≥0,求出的x的范围是[0,2].
则 f(x)的定义域是[0,2].
所以,当0≤x≤1,u(x)是增函数,u(0)=0,u(1)=1
当1≤x≤2,u(x)是减函数,u(2)=0,u(1)=1.
又因为对于f(x)=√u ,当u≥0时,f(x)=√u是增函数.
所以 当0≤x≤1,f(x)是增函数,f(x)=√u(0)=0,f(x)=√u(1)=1；
当1≤x≤2,f(x)是减函数,f(x)=√u(2)=0,f(x)=√u(1)=1.
故 在定义域 x∈(0,2),f(x)的值域是[0 ,1],最大值是1；最小值是0.