已知关于X的一元二次方程X2+2（a+2b+3）X+（a2+4b2+99）=0无相异两实根,则满足条件的有序正整数组（a,b）

Question

已知关于X的一元二次方程X2+2（a+2b+3）X+（a2+4b2+99）=0无相异两实根,则满足条件的有序正整数组（a,b）

Answer 1

由题知4(a+2b+3)^2-4(a^2+4b^2+99)≤0,即4(a+2b+3)^2-4(a^2+4b^2+99)=4a^2+16b^2+36+16ab+24a+48b-4a^2-16b^2-396=16ab+24a+48b-360≤0,所以2ab+3a+6b-45≤0,因a、b为正整数,所以2ab+3a+6b-45≥2b+3+6b-45=8b-42,所以8b-42≤0,所以b≤5,令b的值分别为1、2、3、4、5,可得5a-39≤0,a=1、2、3、4、5、6、7；7a-33≤0,a=1、2、3、4；9a-27≤0,a=1、2、3；11a-21≤0,a=1；13a-15≤0,a=1.于是满足条件的有序正整数组（a,b）共有16组.