已知n为整数,(n-1)^2x^2-5n(n-1)x+(6n^2-n-1)=0至少有一个整数根.则所有n值的和为?

Question

已知n为整数,(n-1)^2x^2-5n(n-1)x+(6n^2-n-1)=0至少有一个整数根.则所有n值的和为?

Answer 1

因为(n-1)²x²-5n(n-1)x+(6n²-n-1)=0至少有一个整数根,所以须根据系数分类讨论.
(1)当(n-1)²=0即n=1时,原方程变为4=0,显然无解,舍去；
(2)当(n-1)²≠0即n≠1时,此为一元二次方程.Δ=[5n(n-1)]²-4(n-1)²(6n²-n-1)=(n-1)²(n+2)²≥0恒成立,所以此方程必然会有实数根.
易求得x1=(3n+1)/(n-1)=3+4/(n-1),x2=(2n-1)/(n-1)=2+1/(n-1) (n∈Z且n≠1)
因为至少有一个整数根,所以分类讨论：
(i)当x1为整数时,(n-1)|4,有n=-3、-1、0、2、3、5；
(ii)当x2为整数时,(n-1)|1,有n=0、2
综合上述：n=-3、-1、0、2、3、5,所以所有n值的和为(-3)+(-1)+0+2+3+5=6