仔细观察下列四个等式1×2×3×4+1=25=522×3×4×5+1=121=1123×4×5×6+1=361=1924×5×6×7+1=841=292（1）观察上述计算结果，找出它们的共同特征．（2）以上特征，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的

Question

仔细观察下列四个等式
1×2×3×4+1=25=5²
2×3×4×5+1=121=11²
3×4×5×6+1=361=19²
4×5×6×7+1=841=29²
（1）观察上述计算结果，找出它们的共同特征．
（2）以上特征，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的和仍具备吗？若具备，试猜想，第n个等式应是什么？给出你的思考过程
（3）请你从第10个式子以后的式子中，再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论．
^2
2
2
2

Answer 1

（1）都是完全平方数…（3分）；

（2）仍具备．也都是完全平方数…（5分）；
仔细观察前5个算式与其结果的关系，发现：
1×2×3×4+1=（1×4+1）²2
2×3×4×5+1=（2×5+1）²2
3×4×5×6+1=（3×6+1）²2
4×5×6×7+1=（4×7+1）²2
5×6×7×8+1=（5×8+1）²2
…
因此，猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²2=（n²2+3n+1）²2．
即，第n个等式是：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²2+3n+1）²2…（8分）

（3）如11×12×13×14+1=24024+1=24025．
（11²2+3×11+1）²2=（121+33+1）²2=155²2=24025．
∴11×12×13×14+1=（11²2+3×11+1）²2．
猜想正确 …（10分）