（2013•奉贤区二模）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距202海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC＝513

Question

（2013•奉贤区二模）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20√(2)海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC＝5√(13)．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=-(2√(13))/(13)
（1）求cosθ； 
（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．√(2)海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC＝5√(13)．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=-(2√(13))/(13)
（1）求cosθ； 
（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．√(2)

2

2AC＝5√(13)．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=-(2√(13))/(13)
（1）求cosθ； 
（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．√(13)

13

13(2√(13))/(13)
（1）求cosθ； 
（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．(2√(13))/(13)2√(13)2√(13)√(13)

13

131313

Answer 1

（1）∵cos∠EAC＝−(2√(13))/(13)，∴sin∠EAC＝√(1−cos2∠EAC)＝(3√(13))/(13)．（2分）
∴cosθ＝cos((3π)/(4)−∠EAC)＝cos(3π)/(4)•cos∠EAC+sin(3π)/(4)•sin∠EAC=−(√(2))/(2)×(−(2√(13))/(13))+(√(2))/(2)×(3√(13))/(13)＝

5

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问题解析

（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC的值，根据cosθ＝cos((3π)/(4)−∠EAC)，利用两角差的余弦公式求得结果．
（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．

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余弦定理的应用．

考点点评：

本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．

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cos∠EAC＝−(2√(13))/(13)2√(13)2√(13)2√(13)

13

1313131313，∴sin∠EAC＝√(1−cos2∠EAC)＝(3√(13))/(13)．（2分）
∴cosθ＝cos((3π)/(4)−∠EAC)＝cos(3π)/(4)•cos∠EAC+sin(3π)/(4)•sin∠EAC=−(√(2))/(2)×(−(2√(13))/(13))+(√(2))/(2)×(3√(13))/(13)＝

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（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC的值，根据cosθ＝cos((3π)/(4)−∠EAC)，利用两角差的余弦公式求得结果．
（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．

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sin∠EAC＝√(1−cos2∠EAC)

1−cos2∠EAC

1−cos2∠EAC1−cos2∠EAC2∠EAC＝(3√(13))/(13)3√(13)3√(13)3√(13)

13

1313131313．（2分）
∴cosθ＝cos((3π)/(4)−∠EAC)＝cos(3π)/(4)•cos∠EAC+sin(3π)/(4)•sin∠EAC=−(√(2))/(2)×(−(2√(13))/(13))+(√(2))/(2)×(3√(13))/(13)＝

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cosθ＝cos((3π)/(4)3π3π3π444−∠EAC)＝cos(3π)/(4)3π3π3π444•cos∠EAC+sin(3π)/(4)3π3π3π444•sin∠EAC=−(√(2))/(2)×(−(2√(13))/(13))+(√(2))/(2)×(3√(13))/(13)＝

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−(√(2))/(2)√(2)√(2)√(2)

2

22222×(−(2√(13))/(13)2√(13)2√(13)2√(13)

13

1313131313)+(√(2))/(2)√(2)√(2)√(2)

2

22222×(3√(13))/(13)3√(13)3√(13)3√(13)

13

1313131313＝

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（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．cosθ＝cos((3π)/(4)3π3π3π444−∠EAC)，利用两角差的余弦公式求得结果．
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