连续型随机变量x的概率密度为连续型随机变量x的概率密度为f(x)={kx+10＜x＜20其他求1.常数k2.x分布函数F(x)3.p{1≤x≤3}

Question

连续型随机变量x的概率密度为
连续型随机变量x的概率密度为
f(x)={ kx+1 0＜x＜2
0 其他
求1.常数k
2.x分布函数F(x)
3.p{1≤x≤3}

Answer 1

f(x)为概率密度函数则：
(-∞,+∞)∫f(x) = 1 ==> [0,2]∫(kx+1)dx =1
==> 2k+2=1 ==> k =-1/2
将 k=-1/2 代入 ==> f(x) = -x/2 +1
当 00，其他 f(x) =0， 符合密度函数定义，因此k=-1/2
2. 0 F(x) = (-∞,x)∫f(x)
= (0,x)∫(-x/2+1)dx = -x²/4+x (0 因此分布函数为：
F(x) = 0, (x≤0)
F(x) = -x²/4+x (0 F(x) = 1 (x≥2)
3. p{1≤x≤3} = F(3) - F(1) = 1- (-1/4+1) =1/40，其他 f(x) =0， 符合密度函数定义，因此k=-1/2
2. 0 F(x) = (-∞,x)∫f(x)
= (0,x)∫(-x/2+1)dx = -x²/4+x (0 因此分布函数为：
F(x) = 0, (x≤0)
F(x) = -x²/4+x (0 F(x) = 1 (x≥2)
3. p{1≤x≤3} = F(3) - F(1) = 1- (-1/4+1) =1/4