在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线

Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

（1）如图1，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴根据勾股定理得到，BC=√(AB2+AC2)=10
∴CD=(1)/(2)BC=5．
∵DE⊥BC．
∴∠A=∠CDE=90°∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB
∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，
即DE：6=CE：10=5：8
∴DE=(15)/(4)，CE=(25)/(4)；
（2）如图2，∵△CDE∽△CAB，
∴∠B=∠DEC．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠4=90°．
∵∠1+∠2=90°
∴∠2=∠4，
∴△PBD∽△QED，
∴(PB)/(EQ)＝(BD)/(ED)，
∴(2)/(EQ)＝(5)/((15)/(4))，
∴EQ=(3)/(2)，
∴CQ=CE-EQ=(25)/(4)-(3)/(2)=(19)/(4)．
如图2-1，∵∠B=DEC，
∴∠PBD=∠QED．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠2=90°．
∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△PBD∽△QED
∴(PB)/(EQ)＝(BD)/(ED)，
∴(2)/(EQ)＝(5)/((15)/(4))，
∴EQ=(3)/(2)，
∴CQ=(25)/(4)+(3)/(2)=(31)/(4)
故CQ=(19)/(4)或(31)/(4)；
（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，
∴点P在边AB上
∵△BPD∽△EQD   
∴(BP)/(EQ)＝(BD)/(ED)＝(PD)/(QD)＝

作业帮用户 2016-11-20 举报

问题解析

（1）由勾股定理求得BC=10．通过“两角法”证得△CDE∽△CAB，则对应边成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；
（2）如图2，当P点在AB上时，由∠PDQ=90°就可以得出∠2=∠4，就可以证明△PBD∽△QED，就可以EQ的值，从而求得CQ的值；如图2-1，当P点在AB的延长线上时，证明△PBD∽△QED，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）如图3，4，5由条件可以求出△BPD∽△EQD，就有

(BP)/(EQ)＝(BD)/(ED)＝(PD)/(QD)＝(4)/(3)．设BP=x，则EQ=(3)/(4)x，CQ=(25)/(4)-(3)/(4)x．由三角函数值可以得出△PDF∽△CDQ．由△PDF为等腰三角形就可以得出△CDQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论就可以求出结论．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．

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