如图，OC=90km，∠AOB=2π3，∠OCD=θ，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3ttkm，且半径增大到81km时不再变化．一架无人侦察机从C

Question

如图，OC=90km，∠AOB=(2π)/(3)，∠OCD=θ，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t√(t)km，且半径增大到81km时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．

（Ⅰ） 当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；
（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=(π)/(4)，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．如图，OC=90km，∠AOB=(2π)/(3)，∠OCD=θ，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t√(t)km，且半径增大到81km时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．

（Ⅰ） 当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；
（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=(π)/(4)，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．OC=90km，∠AOB=(2π)/(3)，∠OCD=θ，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t√(t)km，且半径增大到81km时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．

（Ⅰ） 当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；
（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=(π)/(4)，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．(2π)/(3)2π32π2π33√(t)km，且半径增大到81km时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．

（Ⅰ） 当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；
（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=(π)/(4)，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．√(t)

t

t

t


(π)/(4)，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．(π)/(4)π4ππ44

Answer 1

（I）在△OCE中，CE=15t，OC=90，
由余弦定理得OE²2=OC²2+CE²2-2OC•CEcosθ=8100+225t²2-2700tcosθ．
∴OE=√(8100+225t2-2700tcosθ)．
（II）令f（t）=OE²-r²=225t²-1350√(2)t+8100-9t³，
令r=3t√(t)=81，解得t=9．∴0≤t≤9
∴f′（t）=-27t²+450t-1350√(2)=-27（t-(25)/(3)）²[phone]√(2)<0．
∴f（t）在[0，9]上是减函数．
f（9）=225×9²-1350√(2)×9+8100-9×9³>0．
∴当0≤t≤9时，f（t）>0，即OE>r．
∴雷达不能测控到无人侦察机． √(8100+225t2-2700tcosθ)

8100+225t2-2700tcosθ

8100+225t2-2700tcosθ

8100+225t2-2700tcosθ8100+225t2-2700tcosθ2-2700tcosθ．
（II）令f（t）=OE²2-r²2=225t²2-1350√(2)t+8100-9t³，
令r=3t√(t)=81，解得t=9．∴0≤t≤9
∴f′（t）=-27t²+450t-1350√(2)=-27（t-(25)/(3)）²[phone]√(2)<0．
∴f（t）在[0，9]上是减函数．
f（9）=225×9²-1350√(2)×9+8100-9×9³>0．
∴当0≤t≤9时，f（t）>0，即OE>r．
∴雷达不能测控到无人侦察机． √(2)

2

2

22t+8100-9t³3，
令r=3t√(t)=81，解得t=9．∴0≤t≤9
∴f′（t）=-27t²+450t-1350√(2)=-27（t-(25)/(3)）²[phone]√(2)<0．
∴f（t）在[0，9]上是减函数．
f（9）=225×9²-1350√(2)×9+8100-9×9³>0．
∴当0≤t≤9时，f（t）>0，即OE>r．
∴雷达不能测控到无人侦察机． √(t)

t

t

tt=81，解得t=9．∴0≤t≤9
∴f′（t）=-27t²2+450t-1350√(2)=-27（t-(25)/(3)）²[phone]√(2)<0．
∴f（t）在[0，9]上是减函数．
f（9）=225×9²-1350√(2)×9+8100-9×9³>0．
∴当0≤t≤9时，f（t）>0，即OE>r．
∴雷达不能测控到无人侦察机． √(2)

2

2

22=-27（t-(25)/(3)）²[phone]√(2)<0．
∴f（t）在[0，9]上是减函数．
f（9）=225×9²-1350√(2)×9+8100-9×9³>0．
∴当0≤t≤9时，f（t）>0，即OE>r．
∴雷达不能测控到无人侦察机． (25)/(3)253252525333）²2+1875-1350√(2)<0．
∴f（t）在[0，9]上是减函数．
f（9）=225×9²-1350√(2)×9+8100-9×9³>0．
∴当0≤t≤9时，f（t）>0，即OE>r．
∴雷达不能测控到无人侦察机． √(2)

2

2

22<0．
∴f（t）在[0，9]上是减函数．
f（9）=225×9²2-1350√(2)×9+8100-9×9³>0．
∴当0≤t≤9时，f（t）>0，即OE>r．
∴雷达不能测控到无人侦察机． √(2)

2

2

22×9+8100-9×9³3>0．
∴当0≤t≤9时，f（t）>0，即OE>r．
∴雷达不能测控到无人侦察机．