设g(x,y)连续,f(x,y)=|x-y|g(x,y),研究函数f(x,y)在（0,0）处的可微性

Question

设g(x,y)连续,f(x,y)=|x-y|g(x,y),研究函数f(x,y)在（0,0）处的可微性

Answer 1

af/ax=lim 【f(x,0)－f(0,0)】/(x－0)=lim |x|g(x,0)/x,只有g(0,0)=0时极限才存在且为0.
同理af/ay=0,条件也是g(0,0)=0.再看
【f(x,y)－f(0,0)－x*af/ax－y*af/ay】/根号(x^2+y^2)＝|x－y|g(x,y)/根号(x^2+y^2)
注意到|x－y|<=|x|+|y|<=2根号(x^2+y^2),因此上式在g(0,0)=0时有极限0,于是f(x,y)在原点可微.
综上,当g(0,0)=0时f可微,否则不可微.